2020年度邵逸夫數(shù)學科學獎平均頒予亞歷山大?貝林森(Alexander Beilinson) 和大衛(wèi)?卡茲丹 (David Kazhdan)，以表彰他們對表示論，以及許多其他數(shù)學領(lǐng)域的重大影響和深遠貢獻。亞歷山大?貝林森是美國芝加哥大學大衛(wèi)和瑪麗?溫頓格林講座教授。大衛(wèi)?卡茲丹是以色列耶路撒冷希伯來大學數(shù)學教授。

亞歷山大?貝林森和大衛(wèi)?卡茲丹兩位數(shù)學家對被稱為表示論的數(shù)學分支作出了深遠貢獻，他們也為許多其他領(lǐng)域帶來根本性的影響而聞名，例如算術(shù)幾何學、K理論、共形場論、數(shù)論、代數(shù)和復數(shù)幾何、群論以及廣泛的代數(shù)領(lǐng)域。除了證明重要定理，他們還創(chuàng)造了一些概念性工具，這些工具對其他數(shù)學家取得突破至關(guān)重要。他們的工作既深且廣，促進了諸多數(shù)學領(lǐng)域的長足發(fā)展。

群論與對稱性的概念有著密切關(guān)連，群本身是抽象的概念，但可以通過對某些數(shù)學對象的變換或?qū)ΨQ關(guān)系(通常是向量空間的線性變換)來「描述」，這種具體的描述就是群的表示。眾所周知，群的表示十分重要，使許多關(guān)于群論的問題簡化為較熟悉的線性代數(shù)問題。群的表示在物理學上也相當重要，例如，物理系統(tǒng)的對稱群決定了該系統(tǒng)的方程解的一些重要特性，而群表示能將這對稱群描述清楚。大致而言，表示論是對數(shù)學和物理學基本對稱性的研究。對稱群有很多不同的  種類：有限群、李群、代數(shù)群、 p-adic群、圈群、賦值向量群等等。正因為這樣，貝林森和卡茲丹的工作在許多不同領(lǐng)域上作出貢獻。

卡茲丹其中一個最具影響力的想法是引進一個群的特性，稱為卡茲丹特性(T)。在各種群表示中，總有一個令人不感興趣的「平凡表示」，它將群的每一個元素與對物體完全沒有任何作用的「變換」聯(lián)系起來。盡管平凡表示本身并不令人感興趣，但更有趣的是關(guān)乎另一個表示與平凡表示有多接近。特性(T)為該問題提供了精確的量化意義?？ㄆ澋な褂锰匦?T)解答了兩個有關(guān)李群離散子群的難題。自此，特性(T)在群表示論的許多方面都具極其重要的應用，局部域上代數(shù)群中的格、遍歷理論、幾何群論、擴張子、算子代數(shù)和網(wǎng)絡(luò)理論等，并且已被公認為表示論中真正的基本概念。

繼這一個突破，卡茲丹也解決了一些表示論和在李群中有關(guān)格的難題，例如賽爾貝格猜想中不一致的格，以及關(guān)于仿射赫克代數(shù)的分類的施普林格猜想。

與喬治?盧斯蒂格合作解決上述最后一個問題時，卡茲丹引進一類重要的多項式，并制訂出一對非常有影響力的(等價)猜想。亞歷山大?貝林森的其中一個成就，是與約瑟夫?伯恩斯坦一起證明這些猜想(這些猜想也由圣呂克?布萊林斯基和柏原正樹獨立證明)。該證明引進的方法，揭示出一個稱為幾何表示論的領(lǐng)域，謀求了解群表示的幾何和分類結(jié)構(gòu)的深層基礎(chǔ)?？ㄆ澋ぴ谠擃I(lǐng)域的發(fā)展也發(fā)揮重要作用，從這方面研究所得的洞見已用于解決幾個難題。

由貝林森、伯恩斯坦和皮埃爾?德利涅創(chuàng)立的另一著名概念稱為反常層。避開專業(yè)術(shù)語去嘗試解釋反常層是不可行的，但一個頗為人知的說法首先指出反常層既不是反常也不是層。這概念可說是真正深奧的發(fā)現(xiàn)，雖然這概念的定義絕不直觀，但至今被視為「拓撲學其中一個最自然和最基本的事物」(引自相同的說法)。朗蘭茲綱領(lǐng)是數(shù)學研究其中一個核心目標，貝林森的概念亦對朗蘭茲綱領(lǐng)造成深遠影響。例如，假若沒有這概念，便難以想象吳寶珠完成「基本引理」的工作，以及勞倫特和文森特?拉夫福格的建樹(三位皆因這項工作而曾獲大獎)?？ㄆ澋ふ\然把數(shù)學的卓見帶入這一組豐富的意念中。通過指出軌道積分可以演繹為某些有限域上的代數(shù)簇的計數(shù)點，他和盧斯提格開辟了證明基本引理的通道，自此，卡茲丹繼續(xù)在這個課題上發(fā)揮重大影響。貝林森更因提出與 L 函數(shù)和動機理論有關(guān)的深奧猜想而聞名，不但完全改變對這兩個主題的理解，并導致相關(guān)工作激增。

貝林森和卡茲丹站在過去數(shù)十年許多最令人振奮的數(shù)學發(fā)展的核心，這些發(fā)展持續(xù)不息。他們獲頒2020年度邵逸夫數(shù)學科學獎，實至名歸。(譯自英文原稿)

2020年度邵逸夫數(shù)學科學獎得獎者簡介

亞歷山大?貝林森 (Alexander Beilinson) 在1957年于俄羅斯莫斯科出生，目前是美國芝加哥大學大衛(wèi)和瑪麗?溫頓格林講座教授。他在1988年于俄羅斯蘭道理論物理研究所取得博士學位。出任現(xiàn)時職位前，他曾于蘭道理論物理研究所擔任研究員 (1987–1993) 及于美國麻省理工學院擔任教授 (1988–1998)。亞歷山大?貝林森是美國國家科學院院士及美國人文與科學院院士。

大衛(wèi)?卡茲丹 (David Kazhdan) 在1946年于俄羅斯莫斯科出生，目前是以色列耶路撒冷希伯來大學數(shù)學教授。他在1967年于俄羅斯莫斯科國立大學先取得文憑，并在亞歷山大?基里洛夫指導下于1969年取得博士學位，繼而在母校擔任研究員(1969–1975)。他其后移居美國，并加入哈佛大學工作，先后擔任數(shù)學客席教授 (1975–1977)、教授(1977–2002) 及數(shù)學榮休教授(2002–)。他在2002年移居以色列，出任耶路撒冷希伯來大學教授。大衛(wèi)?卡茲丹是美國國家科學院院士及美國人文與科學院院士。